Description
Date depot: 1 janvier 1900
Titre: Groupe orthogonal, fonctions Booléennes et codes autoduaux
Directeur de thèse:
Patrick SOLÉ (LTCI (EDMH))
Domaine scientifique: Sciences et technologies de l'information et de la communication
Thématique CNRS : Non defini
Resumé:
{{1 Position du problème}}
Le groupe de matrices {Gn} défini sur {GF(2)}, le corps a deux éléments, par analogie avec le groupe orthogonal ŕeel suivant l’équation
{Gn:= { M ∈ GL(n, 2) | M M^t = I }},
est en fait relié au groupe symplectique [2]. Il a deux applications possibles en sécurité de l'Information.
Dans le domaine des codes correcteurs d'erreurs une telle matrice peut servir à former la matrice de contrôle {H} d'un code autodual de longueur {2n} par la relation
{H = ( I, M )}.
Si l'on connait des générateurs d'un tel groupe alors on peut engendrer tous les codes autoduaux en petites longueur, ou aussi, ce qui est plus facile et plus interessant, engendrer pseudo aléatoirement des codes en longueur raisonnable.
En crypto symétrique le groupe intervient dans la classification des fonctions Booléennes en {n} variables. En effet un invariant récent des fonctions Booléennes ( le quotient de Rayleigh) est invariant par opération de ce group sur les variables [1]. Ce groupe est plus petit que le groupe affine classiquement utilisé dans l'étude des fonctions Booléennes.
{{2 Travail de l'étudiant}}
D'un point de vue pratique, l'étudiant implantera en Magma, un langage de calcul formel de haut niveau, le groupe {Gn}. Pour l'application à l'engendrement de codes autoduaux, il faut {16<=n<=25}, les codes autoduaux binaires étant classifiés jusqu'en longueur 32. Par contre, pour l'application aux fonctions Booléennes {n<=12} suffit. Au niveau théorique, on espère comprendre un peu mieux les fonctions Booléennes, en particulier les fonctions courbes.
{{References}}
[1] www.ii.uib.no/mattew/bfcasdb.pdf
[2] http://magma.maths.usyd.edu.au/magma/htmlhelp/text727.htm7036
Doctorant.e: Sok Lin