Description
Date depot: 1 janvier 1900
Titre: Analyse stochastique des processus ponctuels à dépendance
Directeur de thèse:
Laurent DECREUSEFOND (LTCI (EDMH))
Domaine scientifique: Sciences et technologies de l'information et de la communication
Thématique CNRS : Non defini
Resumé:
Les processus ponctuels sur la droite réelle sont utilisés pour représenter des instants d’arrivée, des instants de panne, etc. En dimension supérieure, ils permettent de représenter des positions de particules ou d’objets. Peu d’exemples de processus ponctuels permettent de faire des calculs explicites. Le processus de Poisson et ses avatars comme les processus de Cox, sont presque les seuls. Une nouvelle classe de processus à la structure riche mais sans doute « calculables » est constituée des processus déterminantaux et permanentaux.
Ces processus ont été exhibés dans les années 70 par O. Macchi [4] et redécouverts récemment à l’occasion des études sur les matrices aléatoires. Ces processus sont définis par leur fonction de corrélation, par conséquent, l’attractivité ou la répulsion entre particules est encodée explicitement dans la description mathématique. Une telle structure permet d’espérer pouvoir modéliser des phénomènes où la dépendance joue un rôle crucial comme dans les instants de défaut de remboursement de crédit : si une entreprise fait faillite, cela peut-être que le secteur va mal et donc le risque pour les entreprises survivantes de faire aussi faillite est accrue ; cela peut permettre aussi à ses concurrentes de renforcer leur part de marché et donc de retarder leur faillite. En physique et c’était là leur vocation première, les processus déterminantaux sont une représentation possible des nuages d’électrons tandis que les processus permanentaux, une représentation des ensembles de bosons.
Mathématiquement parlant, on connaît fort peu ces processus. Il y a un réel enjeu à en déterminer les propriétés. Compte-tenu des dépendances, même pour les processus indexés par la demi-droite réelle, le calcul d’Itô semble illusoire. En revanche, le calcul de Malliavin qui est une théorie agnostique à la notion de temps paraît plus adapté. Nous avons déjà commencé cette étude. Nous avons notamment établi [2] la quasi-invariance pour les transformations déterministes d’un processus déterminantal ou permanental. Nous en avons aussitôt déduit une formule d’intégration par parties stochastique généralisant celle d’Albeverio et al. [1] pour le processus de Poisson.
De nombreuses questions restent en suspens : établir un théorème de Girsanov pour des transformations non plus déterministes mais aléatoires, existe-il une décomposition chaotique, peut-on définir un autre opérateur de Malliavin analogue à celui défini pour le processus de Poisson par l’opérateur de différence finie, etc. Nous voudrions aussi regarder les propriétés ergodiques du processus d’Ornstein-Uhlenbeck associé à la forme de Dirichlet canonique pour démontrer des résultats de concentration similaires à ceux obtenus par la méthode pour le processus de Poisson [3].
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{{{Références}}}
[1] Albeverio, S. and Kondratiev, Y. G. and Röckner, M., Analysis and geometry on configuration spaces, J. Funct. Anal. 154 444--500 (1998)
[2] Camilier, I. and Decreusefond, L.,Quasi-invariance and integration by parts for determinantal and permanental point processes, Journal of Functional Analysis (2010)
[3] Decreusefond, L. and Joulin, A. and Savy, N., Rubinstein distance on configuration spaces. Communications on stochastic analysis (2010)
[4] Macchi, O.,The coincidence approach to stochastic point processes. Advances in Appl. Probability 7 83--122 (1975)
Doctorant.e: Flint Ian