Projet de recherche doctoral numero :5128

Description

Date depot: 3 avril 2018
Titre: Barycentres de Wasserstein pour les abstractions topologiques
Directeur de thèse: Julien TIERNY (LIP6)
Domaine scientifique: Sciences et technologies de l'information et de la communication
Thématique CNRS : Non defini

Resumé: L’homologie persistante est un outil théorique puissant, qui permet en pratique d’introduire une mesure de bruit sur les structures topologiques. Cette mesure de bruit, appelée persistance, permet de visualiser et de mesurer des structures topologiques à plusieurs échelles d’importance et d’extraire efficacement et avec précision les structures d’intérêt dans un jeu de données. La persistance est souvent associée au diagramme de persistance, qui donne une représentation visuelle de la distribution des structures topologiques (ici des singularités) en fonction de leur plage de valeur dans les données. Ces diagrammes, grâce à leur stabilité, jouent un rôle central en analyse topologique de données: ils constituent en effet une représentation réduite des données particulièrement pertinente, qui capture les structures les plus importantes des données. Ainsi, il est possible dans de nombreuses applications d’effectuer des analyses avancées directement sur le diagramme plutôt que sur les données initiales, qui sont en général plusieurs ordres de grandeur plus volumineuses. Dans de nombreuses applications, il est nécessaire de regrouper par similarité des jeux de données (clustering). Dans ce cadre, il serait très efficace en temps d’effectuer ce clustering sur les diagrammes de persistance plutôt que sur les données initiales. Or, la plupart des algorithmes de clustering ont recours au calcul de barycentres entre jeux de données (c’est le cas du k-means). Cependant, il n’existe pas de manière établie de calculer un barycentre entre plusieurs diagrammes de persistance (de calculer un diagramme de persistance moyen). Dans cette thèse, nous souhaitons répondre à ce problème en définissant des barycentres de diagrammes de persistance, afin de re-grouper entre eux des diagrammes similaires. Par ailleurs, nous souhaitons généraliser cette approche à d'autres abstractions topologiques plus complexes, comme le graphe de Reeb ou le complexe de Morse-Smale.





Doctorant.e: Vidal Jules